Download puput-1.pdf in Ziddu.com

Download puput-1.pdf in Ziddu.com

Teorema Phytagoras

Pengertian dan Pembuktian Teorema Phytagoras

1. Pengertian Teorema Phytagoras

Teorema Phytagoras atau yang lebih dikenal Dalil Pythagoras  merupakan salah satu dalil yang paling sering digunakan secara luas. Dalil ini pertama kali ditemukan oleh Pythagoras, yaitu seorang ahli matematika bangsa yunani yang hidup dalam abad keenam Masehi ( kira-kira pada tahun 525 sebelum Masehi ).

Dalil ini sesungguhnya telah dikenal orang-orang Babilonia sekitar 1.000 tahun sebelum masa kehidupan Pythagoras dan sampai saat ini masih digunakan antara lain untuk pelayaran, astronomi, dan arsitektur.

Teorema Pythagoras ini adalah teorema yang sangat terkenal. Teorema ini akan sering digunakan dalam menghitung luas bangun datar. Selain digunakan dalam perhitungan pada bangun datar, perhitungan pada dimensi 3 atau yang lain juga sering menggunakan teorema Pythagoras.

 Teorema Pythagoras berbunyi: pada suatu segitiga siku-siku berlaku sisi miring kuadrat sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya. Secara umum, jika segitiga ABC siku-siku di C maka teorema Pythagoras dapat dinyatakan . Banyak buku menuliskan teorema ini sebagai . Dengan c adalah sisi miring.

2. Pembuktian Teorema Phytagoras

Bukti dari teorema Pythagoras sangat bermacam-macam. Sangat banyak cara untuk membuktikan teorema  ini. Di sini akan diberikan beberapa bukti teorema Pythagoras. Dari bukti yang sangat mendasar sampai bukti yang cukup rumit. Kebanyakan bukti teorema Pythagoras adalah pengembangan dari bukti-bukti inti (bukti-bukti dasar).

Bukti 1

  

   

Disediakan 4 buah segitiga siku-siku. Perhatikan gambar di atas. 4 segitiga di atas adalah segitiga yang sama. Mempunyai sisi-sisi a, b dan c. dan sisi c merupakan sisi miring dari segitiga tersebut. Ketiga segitiga disampingnya adalah hasil rotasi 90, 180 dan 270 derajat dari segitiga pertama.

Luas masing-masing segitiga yaitu  Sehingga luas 4 segitiga tersebut adalah .

Segitiga-segitiga tersebut kita atur sedemikian sehingga membentung persegi dengan sisi c seperti gambar berikut.

  

   

Perhatikan gambar hasil susunan 4 segitiga tersebut. gambar tersebut membentuk sebuah persegi dengan sisi c. dan didalamnya ada persegi kecil. Panjang sisi persegi kecil tersebut adalah .

Secara langsung kita dapat menentukan luas persegi besar tersebut, yaitu . Dan secara tidak langsung, luas persegi besar dengan sisi c tersebut adalah sama dengan luas 4 segitiga ditambah luas persegi kecil yang mempunyai sisi . Sehingga diperoleh,

  

  

  

Bukti 2

     

Perhatikan gambar. Gambar tersebut adalah gambar 2 persegi. Persegi yang besar adalah sebuah persegi yang mempunyai panjang sisi a, dan persegi kecil mempunyai panjang sisi yaitu b.

Luas persegi yang besar tentunya adalah . Dan luas persegi kecil adalah . Sehingga luas bangun diatas adalah

   

   

Kedua persegi tersebut kita gabungkan. Dan kita buat garis sedemikian sehingga seperti pada gambar. Sisi c menjadi sisi miring dari segitiga tersebut. kemudian kita potong segitiga-segitiga tersebut. dan kita pindahkan ke bagian atas dan samping kanan seperti pada gambar berikut.

    

  

Luas persegi dengan sisi c tersebut tentunya adalah . Karena 2 persegi pada awal tadi adalah sama dengan 1 persegi besar dengan sisi c diatas, maka tentunya luas 2 persegi pertama sama dengan luas persegi besar dengan sisi c tersebut.

sehingga,

   

   

Bukti 3

   

   

Gambar tersebut adalah gambar sebuah trapesium yang dibentuk dari 3 segitiga. Luas trapesium tersebut adalah . dicari menggunakan rumus luas trapesium. Yaitu setengah dikalikan dengan jumlah sisi yang sejajar dikali tinggi trapesium. Mencari luas bangun datar diatas dapat juga menggunakan jumlah luas segitiga (perhatikan gambar). yaitu

   

.

Luas yang dihitung adalah tetap. Yaitu bentuk trapezium tersebut. sehingga haruslah kedua luas yang dicari dengan langkah yang berbeda itu harus sama. Diperoleh,

   

3. Triple Phytagoras

Tiga buah bilangan a, b dan c dimana a, b dan ? bilagan asli dan c merupakan bilangan terbesar, dikatakan merupakan tripel Pythagoras jika ketiga bilangan tersebut memenuhi hubungan :

c2	=	a2+b2	atau
b2	=	c2-a2	atau
a2	=	c2-b2

CONTOH :

Manakah diantara tigaan berikut yang merupakan tripel Pythagoras ?

a. 9, 12, 15

b. 13, 14, 15

c. 5, 12, 13

PENYELESAIAN

a.	Angka terbesar 15, maka c = 15, a = 12 dan b = 9 152 = 122 + 92 225 = 144 + 81 225 = 225 Jadi 9, 12, 15 merupakan tripel pythagoras
b.	Angka terbesar 15, maka c = 15, a = 13 dan b = 14 152 ¹ 132 + 142 225 ¹ 169 + 196 225 ¹ 365 Jadi 13, 14, 15 merupakan bukan tripel pythagoras
c.	Angka terbesar 13, maka c = 13, a = 12 dan b= 5132 = 122 + 52 169 = 144 +25 169 = 169 Jadi 5, 12, 13 merupakan tripel pythagoras

Jenis Segitiga

Hubungan nilai c² dengan ( a² + b² ) dapat digunakan untuk menentukan jenis segitiga. Jika a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi suatu segitiga dengan :

• c² > a² + b² , maka segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul
• c² = a² + b² , maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku
• c² < a² + b² , maka segitiga tersebut merupakan segitiga lancip

CONTOH :

Tentukanlah jenis segitiga berikut ( lancip, siku-siku, atau tumpul ), jika sisi-sisinya :

a. 6, 8, 10

b. 0,2 ; 0,3 ; 0,4

c. 11, 12, 14

PENYELESAIAN :

a.	Untuk sisi segitiga 6, 8, 10 102 = 62 + 82 100 = 36 + 64 100 = 100 Jenis segitiga adalah segitiga siku-siku
b.	Untuk sisi segitiga 0,2 ; 0,3 ; 0,4 0,42 > 0,22 + 0,32 0,16 > 0,04 + 0,09 0,16 > 0,13 Jenis segitiga adalah segitiga tumpul
c.	Untuk sisi segitiga 11, 12, 14142 < 112 + 122 196 < 121 + 144 196 < 265Jenis segitiga adalah segitiga lancip