Teori Himpunan
· Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
· Objek di dalam
himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Cara Penyajian Himpunan
1.Enumerasi
Contoh 1.
- Himpunan
empat bilangan asli pertama: A = {1,
2, 3, 4}.
- Himpunan lima
bilangan genap positif pertama: B =
{4, 6, 8, 10}.
- C =
{kucing, a, Amir, 10, paku}
- R = { a, b,
{a, b, c}, {a, c} }
- C = {a, {a},
{{a}} }
- K = { {} }
- Himpunan 100
buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
- Himpunan
bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
Keanggotaan
xÎA : x merupakan anggota himpunan A;
xÏA : x bukan merupakan anggota himpunan A.
Contoh 2.
Misalkan:
A = {1, 2, 3, 4}, R = { a,
b, {a, b, c}, {a, c}
}
K = {{}}
maka
3 A
5 B
{a, b,
c} ÎR
cÏR
{} ÎK
{} ÏR
Contoh 3. Bila P1
= {a, b}, P2 = { {a, b}
}, P3 = {{{a, b}}},
maka
aÎP1
aÏP2
P1ÎP2
P1ÏP3
P2ÎP3
2.
Simbol-simbol Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1,
2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1,
2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = {
..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
·
Himpunan yang
universal: semesta, disimbolkan dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A
adalah himpunan bagian dari U,
dengan A = {1, 3, 5}.
3. Notasi Pembentuk Himpunan
Notasi:
{ xú syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh 4.
(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil
dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil
dari 5}
atau
A = { x | x P, x< 5 }
yang
ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah
IF2151}
4. Diagram
Venn
Contoh 5.
Misalkan U
= {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
Himpunan Kosong
·
Himpunan
dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
·
Notasi :
Æ atau {}
Contoh 7.
(i) E = { x | x<x
}, maka n(E) = 0
(ii) P =
{ orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
(iii) A
= {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2
+ 1 = 0 }, n(A) = 0
·
himpunan
{{ }} dapat juga ditulis sebagai {Æ}
·
himpunan
{{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {Æ, {Æ}}
·
{Æ} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu
elemen yaitu himpunan kosong.
Himpunan Bagian (Subset)
·
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari
himpunan B jika dan hanya jika setiap
elemen A merupakan elemen dari B.
·
Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
·
Notasi: AÍB
·
Diagram
Venn:
Contoh
8.
(i) { 1, 2,
3} Í
{1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {1, 2, 3} Í {1, 2, 3}
(iii) NZRC
(iv) Jika A
= { (x, y) | x + y< 4, x³, y³ 0 } dan
B
= { (x, y) | 2x + y< 4,
x³ 0 dan y ³ 0 }, maka BA.
(a) A adalah
himpunan bagian dari A itu sendiri
(yaitu, AA).
(b)
Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A).
(c)
Jika AÍB dan BÍC, maka AÍC
· A dan AA, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.
Contoh:
A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Æ
adalah improper subset dari A.
{2, 3} adalah
proper subset dari {1, 2, 3}
· (ii) AÍB : digunakan
untuk menyatakan bahwa A adalah
himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A
= B AÍB berbeda dengan AÌB
(i)
AÌB :A adalah himpunan bagian dari B tetapi A¹B.
A adalah himpunan
bagian sebenarnya (proper subset)
dari B.
.
Himpunan yang Sama
·
A = B jika dan hanya jika
setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
·
A = B jika A adalah himpunan
bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika
tidak demikian, maka A¹B.
·
Notasi :
A = B«AÍB dan BÍA
Contoh 9.
(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x
(x – 1) = 0 }, maka A = B
(ii) Jika A
= { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 },
maka A = B
(iii)
Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A¹B
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B, dan C = C
(b) jikaA = B, maka B = A
(c) jikaA = B dan B = C, maka A = C
Himpunan yang Ekivalen
·
Himpunan
A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari
kedua himpunan tersebut sama.
·
Notasi :
A ~ B«½A½ = ½B½
Contoh 10.
Misalkan
A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d
}, maka A ~ B sebab ½A½ = ½B½ = 4
Himpunan Saling Lepas
·
Dua
himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint)
jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
·
Notasi :
A // B
·
Diagram
Venn:
Contoh 11.
Jika A = { x | xP, x< 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A
// B.
Himpunan Kuasa
·
Himpunan kuasa (power
set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan
semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A
sendiri.
·
Notasi :
P(A)
atau 2A
·
Jika ½A½ = m,
maka ½P(A)½ = 2m.
Contoh 12.
Jika
A = { 1, 2 }, maka P(A)
={ n kosong adalah P(Æ) = {Æ}, dan himpunan kuasa dari himpunan , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh
13.
Himpunan kuasa dari himpuna {Æ} adalah P({Æ}) = {Æ, {Æ}}.
Operasi Terhadap Himpunan
a. Irisan (intersection)
·
Notasi :
AÇB = { x|xÎA dan xÎB }
 |
Contoh 14.
(i)
Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan
B = {4, 10, 14, 18},
makaAÇB = {4, 10}
(ii)
Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka AB =
.
Artinya: A
// B
b. Gabungan (union)
·
Notasi :
AÈB = { x|xÎA atau xÎB }
 |
Contoh 15.
(i)
Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka AB =
{ 2, 5, 7, 8, 22 }
(ii)
A = A
c. Komplemen (complement)
·
Notasi :
= { x|xÎU, xÏA }
= { x|xÎU, xÏA } |
Contoh 16.
Misalkan U = { 1, 2, 3,
..., 9 },
(i)
jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 6, 8}
(ii)
jika
A = { x | x/2 P, x< 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }
= { 1, 3, 5, 7, 9 }
Contoh 17. Misalkan:
A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B = himpunan semua mobil impor
C = himpunan
semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990
D = himpunan
semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta
E = himpunan
semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu
(i)
“mobil mahasiswa di universitas
ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” à (EÇA) È
(EÇB) atau EÇ
(AÈB)
(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum
tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” àAÇCÇD
(iii)
“semua mobil
impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” à
d. Selisih (difference)
·
Notasi :
A – B = { x|xÎA dan xÏB } = A
Ç
 |
Contoh 18.
(i) Jika A
= { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2,
4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A
=
(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3}
– {1, 3, 5} = {2}
Perampatan Operasi Himpunan
    |
Contoh 22.
(i) A(B1B2 ... Bn) = (AB1) (AB2) ... (ABn)
(ii) Misalkan
A = {1, 2}, B
= {a, b}, dan C = {a,
b},
maka
A´B´C
= {(1, a, a),
(1, a, b), (1, b, a), (1, b, b), (2, a, a), (2, a, b), (2, b, a), (2, b,
Hukum-hukum Himpunan
|
1. Hukum
identitas:
A = A
AU
= A
|
2. Hukum
null/dominasi:
A =
AU
= U
|
|
3. Hukum
komplemen:
A
 = U
A
= |
4. Hukum
idempoten:
AA
= A
AA
= A
|
|
5. Hukum
involusi:
 = A |
6. Hukum
penyerapan (absorpsi):
A (AB)
= A
A (AB)
= A
|
|
7. Hukum
komutatif:
AB
= BA
AB
= BA
|
8. Hukum
asosiatif:
A (BC)
= (AB)
C
A (BC)
= (AB)
C
|
|
9. Hukum distributif:
A (BC)
= (AB)
(AC)
A (BC)
= (AB)
(AC)
|
10. Hukum
De Morgan:
 =   =  |
|
11.
Hukum 0/1
 = U = Æ |
 |
Himpunan Ganda
- Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).
Contohnya,
{1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.
- Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.
- Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.
·
Kardinalitas
dari suatu multiset didefinisikan
sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan
elemen-elemen di dalam multiset semua
berbeda.
4.
ah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah
suatu multiset yang multiplisitas
elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q.
Contoh: P = { a, a, b,
c, c } dan Q = { a, b,
b, d },
P + Q = { a, a, a, b,
b, b, c, c, d
}
Pembuktian Pernyataan Perihal Himpunan
·
Pernyataan
himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.
·
Pernyataan dapat
berupa:
1. Kesamaan (identity)
Contoh: Buktikan “AÇ (BÈC) = (AÇB) È (AÇC)”
2. Implikasi
Contoh: Buktikan bahwa “Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka selalu berlaku
bahwa A Í C”.
1. Pembuktian dengan
menggunakan diagram Venn
Contoh 26. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan AÇ (BÈC) = (AÇB) È (AÇC) dengan diagram Venn.
Bukti:
 |
 |
AÇ (BÈC) (AÇB) È
(AÇC)
Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.
Terbukti bahwa AÇ (BÈC) = (AÇB) È (AÇC).
·
Diagram Venn
hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.
· Metode ini mengilustrasikan
ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn
tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar