Logika

DASAR-DASAR LOGIKA

PENGERTIAN UMUM LOGIKA

Filsafat dan matematika adalah bidang pengetahuan rasional yang ada sejak dahulu. Jauh sebelum matematika berkembang seperti sekarang ini dan penerapannya menyentuh hampir seluruh bidang ilmu pengetahuan modern, ilmuwan dan filosof yunani telah mengembangkan dasar pemikiran ilmu geometri dan logika. Sebut saja THALES (640-546 SM) yaitu seorang ilmuwan geometri yang juga disebut sebagai bapak filosofi dan penalaran deduktif. Ada juga ahli matematika dan filosof PHYTAGORAS (572-497 SM) dengan dalil phytagorasnya yang terkenal yaitu a²+b²=c² .

MATEMATIKA DAN FILSAFAT

Persamaan filsafat dan matematika

Kerja Filosof adalah berpikir konsep.

Kerja Matematikawan adalah memperjelas konsep yang dikembangkan oleh filosof.

Perbedaan filsafat dan matematika

Filsafat bebas menerapkan berbagai metode rasional.

Matematikawan hanya menerapkan metode deduksi.

MATEMATIKA DAN LOGIKA

Menurut BETRAND RUSSEL matematika adalah ilmu yang menyangkut deduksi logis tentang akibat-akibat dari pangkal fikir umum semua penalaran. Ini berkaitan dengan konsepsi matematika sebagai ilmu formal, ilmu tentang bilangan dan ruang, ilmu tentang besaran dan keluasan, ilmu tentang hubungan, pola bentuk, dan rakitan juga sebagai ilmu yang bersifat abstrak dan deduktif.

MAKNA LOGIKA

Berasal dari bahasa yunani “LOGOS” yang berarti kata, ucapan, atau alasan. Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Logika mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penalaran kesimpulan yang absah. Ilmu ini pertama kali dikembangkan sekitar 300 SM oleh ARISTOTELES dan dikenal sebagai logika tradisioanal atau logika klasik. Dua ribu tahun kemudian dikembangkan logika modern oleh GEORGE BOOLE dan DE MORGAN yang disebut dengan Logika Simbolik karena menggunakan simbol-simbol logika secara intensif.

Dasar pemikiran logika klasik adalah logika benar dan salah yang disimbolkan dengan 0 (untuk logika salah) dan 1 (untuk logika benar) yang disebut juga LOGIKA BINER. Tetapi pada kenyataanya dalam kehidupan sehari-hari banyak hal yang kita jumpai yang tidak bisa dinyatakan bahwa sesuatu itu mutlak benar atau mutlak salah. Ada daerah dimana benar dan salah tersebut nilainya tidak bisa ditentukan mutlak benar atau mutlak salah alias kabur.

Untuk mengatasi masalah yang terjadi dalam logika klasik yang dikembangkan oleh ARISTOTELES tersebut, seorang ilmuwan dari Universitas California Berkeley, PROF. LOTFI A.ZADEH pada tahun 1965 mengenalkan suatu konsep berpikir logika yang baru yaitu LOGIKA KABUR (FUZZY LOGIC).

PADA LOGIKA FUZZY

Nilai kebenarn bukan bersifat crisp (tegas) 0 dan 1 saja tetapi berada diantaranya (multivariabel).

Digunakan untuk merumuskan pengetahuan dan pengalaman manusia yang mengakomodasi ketidakpastian ke dalam bentuk matematis tanpa harus mengetahui model matematikanya.

Pada aplikasinya dalam bidang komputer, logika fuzzy diimplementasikan untuk memenuhi kebutuhan manusia akan sistem komputer yang dapat merepresentasikan cara berpikir manusia.

HUBUNGAN MATEMATIKA DAN LOGIKA

Menurut RUDOLF CARNAP (1931)

Konsep matematika dapat diturunkan dari konsep-konsep logika dengan melalui batasan-batasan yang jelas.

Dalil-dalil matematika dapat diturunkan dari aksioma-aksioma logika dengan perantara deduksi logis secara murni.

Menurut BETRAND RUSSEL

Logika adalah masa muda matematika dan matematika adalah masa dewasa logika.

LOGIKA DAN KOMPUTER

            Arsitektur sistem komputer tersusun atas rangkaian logika 1 (true) dan 0 (false) yang dikombinasikan dengan sejumlah gerbang logika AND. OR, NOT, XOR, dan NAND.

            Program komputer berjalan di atas struktur  penalaran yang baik dari suatu solusi terhadap suatu permasalahan dengan bantuan komponen program IF…THEN…ELSE, FOR…TO…DO, WHILE, CASE…OF.

1.1              LOGIKA DAN PERNYATAAN

1.1.1                    LOGIKA

PENGERTIAN UMUM LOGIKA

            Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran serta mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang absah.

            Ilmu logika berhubungan dengan kalimat-kalimat (argumen) dan hubungan yang ada diantara kalimat-kalimat tersebut. Tujuannya adalah memberikan aturan-aturan sehingga orang dapat menentukan apakah suatu kalimat bernilai benar.

            Kalimat yang dipelajari dalam logika bersifat umum, baik bahasa sehari-hari maupun bukti matematika yang didasarkan atas hipotesa-hipotesa. Oleh karena itu aturan-aturan yang berlaku di dalamnya haruslah bersifat umum dan tidak tergantung pada kalimat atau disiplin ilmu tertentu. Ilmu logika lebih mengarah dalam bentuk sintaks-sintaks daripada arti dari kalimat itu sendiri.

GAMBARAN UMUM LOGIKA

            Secara umum logika dibedakan menjadi dua yaitu Logika Pasti dan Logika Tidak Pasti. Logika pasti meliputi Logika Pernyataan (Propotitional Logic), Logika Predikat (Predicate Logic), Logika Hubungan (Relation Logic) dan Logika Himpunan. Sedangkan logika tidak pasti meliputi Logika Samar atau  kabur (Fuzzy Logic).

            Logika Pernyataan membicarakan tentang pernyataan tunggal dan kata hubungnya sehingga didapat kalimat majemuk yang berupa kalimat deklaratif.

Logika Predikat  menelaah variabel dalam suatu kalimat, kuantifikasi dan validitas sebuah argumen.

Logika Hubungan mempelajari hubungan antara pernyataan, relasi simetri, refleksif, antisimtris, dll.

Logika himpunan membicarakan tentang unsur-unsur himpunan dan hukum-hukum yang berlaku di dalamnya.

Logika Samar merupakan pertengahan dari dua nilai biner yaitu ya-tidak, nol-satu, benar-salah. Kondisi yang ditunjukkan oleh logika samar ini antara lain : banyak, sedikit, sekitar x, sering, umumnya.  Logika samar banyak diterapkan dalam kecerdasan buatan, mesin pintar atau sistem cerdas dan alat-alat elektronika. Program komputer dengan menggunakan logika samar mempunyai kapasitas penyimpanan lebih kecil dan lebih cepat bila dibanding dengan logika biner.

ALIRAN DALAM LOGIKA

LOGIKA TRADISIONAL

Pelopornya adalah Aristoteles (384-322 SM)

Terdiri dari analitika dan dialektika. Ilmu analitika yaitu cara penalaran yang didasarkan pada pernyataan yang benar sedangkan dialektika yaitu cara penalaran yang didasarkan pada dugaan.

LOGIKA METAFISIS

Dipelopori oleh F. Hegel (1770-1831 M)

Menurut Hegel, logika dianggap sebagai metafisika dimana susunan pikiran dianggap sebagai kenyataan.

LOGIKA EPISTIMOLOGI

Diperkenalkan oleh FH. Bradley (1846-1924) dan Bernhard Bosanquet (1848-1923 M).

Prisip dari logika epistimologi ini adalah untuk mencapai pengetahuan yang memadai, pikiran yang logis dan perasaan halus digabungkan. Selain itu, untuk mencapai kebenaran, logika harus dihubungkan dengan seluruh pengetahuan yang lainnya.

LOGIKA INSTRUMENTALIS/FRAGMATIS

Dipelopori oleh Jhon Dewey (1859-1952)

Prinsipnya adalah logika merupakan alat atau instrumen untuk menyelesaikan masalah.

LOGIKA SIMBOLIS

Logika simbolis adalah ilmu tentang penyimpulan yang sah (absah) yang dikembangkan menggunakan metod ematematika dan bantuan simbol-simbol khusus sehingga memungkinkan seseorang menghindari makna ganda dari bahasa sehari-hari.

Pelopornya adalah Leibniz, De Morgan, dan Boole

Logika ini menggunakan bahasa simbol untuk mempelajari secara rinci bagaimana akal harus bekerja dan bercirikan teknis, matematis, dan ilmiah. Pemakaian simbol matematika ini untuk mewakili bahsa dalam bentuk pernyataan yang bernilai benar atau salah.

Logika simbolis ini kemudian menjadi dasar logika matematika modern yaitu logika formal yang semata-mata menelaah bentuk da bukan isi dari apa yang dibicarakan.

1.1.2                    PERNYATAAN (PROPOSISI)

Kata merupakan rangkaian huruf yang mengandung arti, sedangkan kalimat adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Di dalam matematika tidak semua pernyataan yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Pernyataan disebut juga kalimat deklaratif yaitu kalimat yang bersifat menerangkan. Disebut juga proposisi. Pernyataan/ Kalimat Deklaratif/ Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya.

Contoh :

1. Yogyakarta adalah kota pelajar          (Benar).
2. 2+2=4                                      (Benar).
3. Semua manusia adalah fana    (Benar).
4. 4 adalah bilangan prima                      (Salah).
5. 5x12=90                                              (Salah).

Tidak semua kalimat berupa proposisi

Contoh :

1. Dimanakah letak pulau bali?.
2. Pandaikah dia?.
3. Andi lebih tinggi daripada Tina.
4. 3x-2y=5x+4.
5. x+y=2.

1.1.3                    PENGHUBUNG KALIMAT DAN TABEL KEBENARAN

Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru lewat penggunaan operator logika. Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound composition), sedangkan proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain  disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk tersusun dari sejumlah proposisi atomik.

Dalam logika dikenal 5 buah penghubung

Simbol	Arti	Bentuk
¬	Tidak/Not/Negasi	Tidak………….
Ù	Dan/And/Konjungsi	……..dan……..
Ú	Atau/Or/Disjungsi	………atau…….
Þ	Implikasi	Jika…….maka…….
Û	Bi-Implikasi	……..bila dan hanya bila……..

Contoh 1.1 :

Misalkan : p menyatakan kalimat “ Mawar adalah nama bunga”

                 Q menyatakan kalimat “ Apel adalah nama buah”

Maka kalimat “ Mawar adalah nama bunga dan Apel adalah nama buah “

Dinyatakan dengan simbol  p Ù q

Contoh 1.2 :

Misalkan  p: hari ini hari minggu

                 q: hari ini libur

nyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika :

a.       Hari ini tidak hari minggu tetapi libur

b.      Hari ini tidak hari minggu dan tidak libur

c.       Tidak benar bahwa hari ini hari minggu dan libur

Penyelesaian

a.   Kata “tetapi” mempunyai arti yang sama dengan dan sehingga kalimat (a) bisa ditulis sebagai : ¬p Ù q

b.   ¬p Ù¬q

c.    ¬(p Ù q)

NEGASI (INGKARAN)

Jika p adalah “ Semarang ibukota Jawa Tengah”, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p tersebut adalah Øp yaitu “ Semarang bukan ibukota Jawa Tengah” atau “Tidak benar bahwa Semarang ibukota Jawa Tengah”. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (Øp) adalah bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya.

KONJUNGSI

Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “DAN/AND” dengan notasi “Ù”

Contoh 1.3:

p: Fahmi makan nasi

Q:Fahmi minum kopi

Maka pÙq : Fahmi makan nasi dan minum kopi

Pada konjungsi pÙq akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya (atau keduanya) bernilai salah maka pÙq bernilai salah.

DISJUNGSI

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “ATAU/OR” dengan notasi “Ú”.

Kalimat disjungsi dapat mempunyai 2 arti yaitu :

a.       INKLUSIF OR

Yaitu jika “p benar atau q benar atau keduanya true”

Contoh  :

p : 7 adalah bilangan prima

q : 7 adalah bilangan ganjil

p Ú q : 7 adalah bilangan prima atau ganjil

Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus bilangan ganjil.

b.      EKSLUSIF OR

Yaitu jika “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”.

Contoh :

      p : Saya akan melihat pertandingan bola di TV.

      q : Saya akan melihat pertandingan bola di lapangan.

      p Ú q : Saya akan melihat pertandingan bola di TV atau lapangan.

Hanya salah satu dari 2 kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar yaitu jika “Saya akan melihat pertandingan sepak bola di TV saja atau di lapangan saja tetapi tidak keduanya.

IMPLIKASI

Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan notasi “Þ”.

Notasi pÞq dapat dibaca :

1. Jika p maka q
2. q jika p
3. p adalah syarat cukup untuk q
4. q adalah syarat perlu untuk p

Contoh 1.4:

1. p : Pak Ali adalah seorang haji.

q : Pak Ali adalah seorang muslim.

p Þ q : Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang  muslim.

2. p : Hari hujan.

q : Adi membawa payung.

Benar atau salahkah pernyataan berikut?

1. Hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung.
2. Hari benar-benar hujan tetapi Adi tidak membawa payung.
3. Hari tidak hujan tetapi Adi membawa payung.
4. Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa payung.

BIIMPLIKASI

Biimplikasi atau bikondosional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi “p Û q” yang bernilai sama dengan (p Þq) Ù (q Þ p)  sehingga dapat dibaca “ p jika dan hanya jika q” atau “p bila dan hanya bila q”. Biimplikasi 2 pernytaan  hanya akan bernilai benar jika implikasi kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilaii benar.

Contoh 1.5 :

    p : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus.

    q : Dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.

    p Û q : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus jika dan hanya jika dan hanya jika dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.

Tabel Kebenaran

Pernyataan, Negasi, Konjungsi,Disjungsi,Inplikasi dan Biimplikasi

p	q	Øp	Øq	pÚq	pÙq	pÞq	pÛq
T	T	F	F	T	T	T	T
T	F	F	T	T	F	F	F
F	T	T	F	T	F	T	F
F	F	T	T	F	F	T	T

Untuk menghindari perbedaan konotasi dan keganjilan arti dalam menerjemahkan simbol-simbol logika maka dalam matematika tidak disyaratkan adanya hubungan antara kedua kalimat penyusunnya. Kebenaran suatu kalimat berimplikasi semata-mata hanya tegantung pada nilai kebenaran kaliamat penyusunnya. Karena itu digunakan tabel kebenaran penghubung. Jika p dan q adalah kalimat-kalimat dimana T=true/benar dan F=false/salah, maka untuk n variable (p,q,…) maka tabel kebenaran memuat 2ⁿ baris.

 INGKARAN (NEGASI) SUATU PERNYATAAN

NEGASI SUATU KONJUNGSI

Contoh : Fahmi makan nasi dan minum kopi

Suatu konjumgsi akan bernilai benar jika kedua kalimat penyusunnya yaitu p dan q bernilai benar, sedangkan negasi adalah pernyataan yang bernilai salah jika pernyataan awalnya bernilai benar  dan bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai salah.      Oleh karena itu negasi dari : “Fahmi makan nasi dan minum kopi” adalah suatu pernyataan majemuk lain yang salah satu komponennya merupakan negasi dari komponen pernyataan awalnya. Jadi negasinya adalah: “Fahmi tidak makan nasi atau tidak minum kopi”. Disini berlaku hukum De Morgan yaitu : Ø(pÙq)  ekuivalen dengan ØpÚØq ( Buatkan tabelnya)

NEGASI SUATU DISJUNGSI

Contoh : “Fahmi makan nasi atau minum kopi”

Suatu disjungsi akan bernilai salah hanya jika kedua komponen penyusunnya bernilai salah., selain itu benar. Oleh karena itu negasi dari kalimat  diatas adalah : “ Tidak benar bahwa Fahmi makan nasi atau minum kopi” atau dapat juga dikatakan “Fahmi tidak makan nasi dan tidak minum kopi. Disini berlaku hukum De Morgan yaitu :  

Ø(pÚq) ºØpÙØq ( Buatkan tabelnya)

NEGASI SUATU IMPLIKASI

Contoh1.6 : “Jika hari hujan maka Adi membawa payung”.

            Untuk memperoleh negasi dari pernyataan diatas, kita dapat mengubah bentuknya ke dalam bentuk disjungsi kemudian dinegasikan, yaitu :

pÞ q ºØpÚq ( Buatkan tabelnya)

Maka negasinya

Ø( pÞ q) ºØ(ØpÚq) º pÙØq  ( Buatkan tabelnya)

NEGASI SUATU BIIMPLIKASI

Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataaan p dan q yang dinotasikan dengan p Û q º (p Þ q) Ù (q Þ p) sehingga :

Ø(p Û q) ºØ [(p Þ q) Ù (q Þ p)]

            ºØ [(ØpÚq ) Ù (ØqÚp)]

ºØ (ØpÚq ) ÚØ(ØqÚp)

Ø(p Û q) º (pÙØq ) Ú (qÙØp)  ( Buatkan tabelnya)