Aljabar

       A.   Bentuk Aljabar

1.    Pengertian Variabel, Suku, Faktor, Koefisien, Konstanta, dan Suku Sejenis

Perhatikan bentuk x + 3 dengan x merupakan pengganti pada bilangan bulat! Jika x diganti - 2 , diperoleh x + 3 = -2 + 3. Jika x di ganti 0, diperoleh x + 3 = 0 + 3. Jika x di ganti 100, diperoleh x + 3 = 100 + 3. Simbol atau notasi x pada contoh di atas disebut variabel.

Bentuk-bentuk seperti 2p², x²-x+4, 2ax-1 dan (x+2)(x-5) disebut bentuk-bentuk aljabar. Bentuk-bentuk aljabar, seperti 2p² artinya 2 x p x p. 2p² adalah bentuk aljabar suku tunggal. Faktor-faktor dari 2p² adalah 2, p, p², dan 2p. Faktor yang berupa konstanta disebut koefisien.

Bentuk x² – x - 4 disebut bentuk aljabar suku tiga dengan x², -x, dan -4 sebagai suku-sukunya.Koefisien dari x² adalah 1 dan koefisien dari x adalah -1.

Pada bentuk aljabar 2ax - 1 dan x² – x + 4, suku-suku 2ax dan –x adalah suku-suku dengan variabel yang sama, yaitu x.Suku-suku seperti ini disebut suku-suku yang sejenis, sedangkan 2ax dan x² adalah suku-suku dengan variabel yang berbeda dan suku-suku seperti ini disebut suku-suku tidak sejenis. 

      2.    Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar

       a.      Menjumlahkan dan Mengurangkan Bentuk Aljabar

Untuk memahami operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk – bentuk aljabar, perhatikan situasi berikut.

Dalam tas Ihsan terdapat 10 buku dan 7 pensil. Selanjutnya, ke dalam tas itu dimasukkan 2 buku dan dari tas itu diambil 3 pensil. Dalam tas Ihsan tentu sekarang ada ( 10 + 2 ) buku dan ( 7 – 3) pensil atau 12 buku dan 4 pensil.

Jika dalam tas Ihsan banyak buku dinyatakan dalam x dan banyak pensil dinyatakan dengan huruf y maka situasi tas ihsan semula adalah 10x + 7y kemudian terjadi 2x – 3y sehingga situasi tas Ihsan menjadi ( 10x + 7y) + ( 2x – 3y) atau (10 + 2) x + (7 - 3) y atau 12x + 4y.

Dari situasi di atas dapat dimengerti bahwa penjumlahan dan pengurangan dua bentuk aljabar hanya dapat dikerjakan pada suku-suku yang sejenis dengan penjumlahan atau pengurangan koefisien pada suku-suku sejenis.

Contoh :

Dua bentuk aljabar dapat dijumlahkan atau dikurangkan bila kedua bentuk aljabar itu sejenis. Perhatikan contoh berikut!

3x² + 6x – 2x² – 10x = 3x² – 2x² + 6x – 10x = x² – 4x

Contoh Soal dan Pembahasan:

1. Jumlah dari 8x² – 5x – 11 dan 20 + 5x – 9x² adalah ....

A. –x² + 9

B. –x² – 9

C. x² + 9

D. x² – 9

Pembahasan:

8x² – 5x – 11 + 20 + 5x – 9x² = 8x² – 9x² – 5x + 5x – 11 + 20

= –x² + 9

Jawaban: A

2. Hasil pengurangan 3p² – 7 oleh p² – 3p – 2 adalah ....

A. –2p² + 3p – 5

B. –2p² – 3p + 5

C. 2p² + 3p – 5

D. 2p² – 3p + 5

Pembahasan:

3p² – 7 – (p² – 3p – 2) = 3p² – 7 – p² + 3p + 2

= 3p² – p² + 3p – 7 + 2

= 2p² + 3p – 5

Jawaban: C

3. Hasil pengurangan 2p – p² dari p² – p + 3 adalah ....

A. 2p² + 3

B. 2p² – 3p + 3

C. 2p² + p + 3

D. 3p² + 3

Pembahasan:

p² – p + 3 – (2p – p²) = p² – p + 3 – 2p + p²

= p² + p² – p – 2p + 3

= 2p² – 3p + 3

Jawaban: B

       b.      Perkalian Suatu Konstanta dengan Bentuk Aljabar

Sebuah perusahaan akan memberi paket lebaran pada setiap karyawan yang terdiri atas 1 kaleng biskuit, 2 botol sirup, dan 10 bungkus mie instan. Jika perusahaan itu mempunyai 100 karyawan maka perusahaan itu harus menyediakan 100 paket lebaran atau ( 100 x 1 ) kaleng biskuit, ( 100 x 2 ) botol sirup, dan ( 100 x 10 ) bungkus mie instan. Jika x menyatakan banyak kaleng biskuit, y menyatakan banyak botol sirup, dan z menyatakan banyak mie instan. Maka dapat di tulis.

    100 x x + 100 x 2y + 100 x 10z atau

    100 x ( x + 2y + 10z ). Sifat apa yang berlaku terkait situasi ini ?

Pada himpunan bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a x ( b + c ) = ( a x b ) + (a x c ) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu : a x ( b - c ) = ( a x b ) – ( a x c ). Sifat ini akan dipakai untuk menyelesaikan perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar suku dua.

Contoh :

        1 . Tuliskan perkalian - perkalian berikut sebagai jumlah atau selisih dengan menggunakan sifat distributif.

a.         4( 3x + 5y )

b.         5( 2p²q - 3pq² )

Jawab :

       a.       4( 3x + 5y ) = 12x + 20y

      b.      5( 2p²q - 3pq² ) = 10p²q - 15pq²

       2.      Nyatakan bentuk berikut ke dalam bentuk perkalian suatu konstanta dengan suku dua  yang paling sederhana.

       a.       4x - 12y

       b.      24m + 40n

Jawab :

       a.        4x - 12y = 4( x - 3y )

        b.      24m + 40n = 8( 3m + 5n )

      

      c.       Perkalian dan Pembagian Dua Bentuk Aljabar

Untuk melakukan operasi perkalian dan pembagian dua bentuk aljabar, kita dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar. Coba kalian sebutkan sifat-sifat tersebut. Selain itu, kalian pasti masih ingat bahwa a : b = c sama artinya a = b x c.

Contoh :

      1.      Tulislah perkalian berikut dalam bentuk  jumlah atau selisih.

        a.       4y( 2x + 3y )

       b.       x( x² – x + 1 )

Jawab :

       a.       4y ( 2x + 3y ) = ( 4y . 2x ) + ( 4y . 3y )

                            = 8xy + 12y²

       b.      x( x² – x + 1 ) = ( x . x² ) - ( x . x ) + ( x . 1 )

                       = x³ - x² + x

Contoh : Perkalian

No	Bentuk	Contoh
1.	Suku 1 dan Suku 2 a( b + c ) = ab + ac	–3x( 2x + 6 ) = –3x.2x – 3x.6 = –6x2 – 18x
2.	Suku 2 dan Suku 2 ( a + b )( c + d ) = ac + ad + bc + bd	( x + 2 )( 2x – 5 ) = x.2x – x.5 + 2.2x – 2.5 = 2x2 – 5x + 4x – 10 = 2x2 – x – 10
3.	Perkalian Istimewa ( a + b )( a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ( a + b )( a – b) = a2 – b2 ( a – b )( a – b) = (a – b)2 = a2 – 2ab + b2	(2x + 3)2 = (2x)2 + 2.2x.3 + 32 = 4x2 + 12x + 9 (3x – 5)2 = (3x)2 – 2.3x.5 + 52 = 9x2 – 30x + 25 (2x + 3)(2x – 3) = (2x)2 – 9 = 4x2 – 9

      

      d.      Pangkat dan Bentuk Aljabar

Pada Bab I telah dibahas bahwaaⁿ = a x a x a x ..... x a , n bilangan bulat positif.

Hal itu juga berlaku untuk bentuk aljabar seperti contoh di bawah ini.

Contoh :

      1.      Carilah hasil perpangkatan berikut ini.

a.       ( 3x )²

b.      ( 2xy²z³ )³

Jawab :

a.       ( 3x )²  = 3x . 3x  = 9x²

b.      ( 2xy²z³ )³  = 2xy²z³ . 2xy²z³ . 2xy²z³ = 8x³y⁶z⁹

           

B.   Operasi Perkalian Bentuk Aljabar

            1.      Menyubstitusikan Bilangan pada variabel Bentuk Aljabar

Suatu bentuk aljabar dapat ditentukan nilainya jika variabel - variabel pada bentuk aljabar tersebut disubstitusikan atau diganti dengan sembarang bilangan.

Contoh :

1.      Jika a = -2, b = 4 dan c = -1, tentukan nilai dari -3a² + 2ab - 4c!

Jawab :

Untuk a = -2, b = 4 dan c = -1 maka,

-3a² + 2ab - 4c = -3(-2)² + 2(-2)(4) - 4(-1) = -12 – 16 + 4 = -24

2.                     Perkalian Bentuk p (a + b + c) dan p (a + b - c)

Masih ingat bahwa p( x + y ) = px + py, p( x – y ) = px - py, dan p( a + x ) = pa + px .Jika nilai x pada persamaan p( a + x ) = pa + px diganti dengan ( b + c ) atau ( b – c ), maka:

·         Jika x diganti dengan ( b + c ) maka,

p( a + b +c ) = pa + p( b + c )

= pa + pb + pc

p( a + b + c ) = pa + pb + pc

·         Jika x diganti dengan ( b – c ) maka,

p( a + b – c ) = pa + p( b – c )

 = pa + pb - pc

p( a + b – c ) = pa + pb - pc

Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan disebut menjabarkan atau menguraikan.

Contoh :

Jika a = 2, b = -1, dan c = 1, tentukan nilai bentuk aljabar berikut.

a.    3a + 3b - 3c

b.    2a + 4b - 8c

Jawab :

a.    3a + 3b - 3c = 3( a + b – c )

 = 3( 2 + (-1) -1 )

 = 3( 0 )

 = 0

b.    2a + 4b - 8c = 2( a + 2b - 4c )

 = 2( 2 + 2(-1) -4.1 )

 = 2( -4 )

 = -8

3.    Perkalian Bentuk (a - b)(p + q)

Telah diketahui bahwa x( p + q ) = xp + xq.Jika pada persamaan itu nilai x diganti dengan ( a – b ) maka diperoleh

( a – b )( p + q ) = ( a – b ) p + ( a – b ) q

= ap – bp + aq – bq

( a – b )( p + q ) = ap – bp + aq – bq

Contoh :

Uraikan bentuk-bentuk aljabar berikut.

a.       ( 2x – 1 )( 3y + 2 )             b. ( 5y – 3 )( 3z + 7 )

Jawab :

a.       ( 2x – 1 )( 3y + 2 ) = ( 2x – 1 ) 3y + ( 2x – 1 ) 2

= ( 2x.3y – 1.3y ) + ( 2x.2 – 1.2 )

= 6xy – 3y + 4x – 2

b.      ( 5y – 3 )( 3z + 7 ) = ( 5y – 3 )3z + ( 5y – 3 )7

= ( 5y.3z – 3.3z) + ( 5y.7 – 3.7)

= 15yz – 9z + 35y – 21

4.    Perkalian Bentuk (a + b)(a – b)

Pada operasi perkalian berlaku persamaan ( a + b )x = ax + bx. Jika niali x pada persamaan tersebut diganti dengan ( a – b) maka diperoleh

            ( a + b )( a – b )           = a( a – b ) + b( a – b )

                                    = a² – ab + ba – b² 

                                    = a² – ab + ab – b²

                                    = a² – b²

( a + b )( a – b )         = a² – b²

            Contoh :

            Tentukan nilai berikut.

a.       ( p + 5 )( p – 5 )

b.      ( 3x + 7 )( 3x – 7 )

Jawab :

a.       ( p + 5 )( p – 5 ) = p² – 5² = p² – 25

b.      ( 3x + 7 )( 3x – 7 ) = ( 3x )² – 7² = 9x² – 49

             5.    Bentuk (a + b)²

Perhatikan  bahwa bentuk ( a + b )² merupakan perkalian ( a + b ) dengan ( a + b ) sehingga,

            ( a + b )² = ( a + b ) ( a + b )

   = a² + ba + ab + b²

           =a² + ab + ab + b² ( ba = ab adalah sifat komutatif terhadap perkalian )

  = a² + 2ab + b²

            ( a + b )² = a² + 2ab + b²

Contoh :

Uraikan bentuk-bentuk berikut.

a.         ( 3p + 2 )²

b.         ( 4 + 3q )²

Jawab :

a.       ( 3p + 2 )² = ( 3p + 2 ) ( 3p + 2 )

= 9p² + 6p + 6p + 4

= 9p² + 12p + 4

b.      ( 4 + 3q )² = ( 4 + 3q ) ( 4 + 3q )

= 16 + 12q + 12q + 9q²

= 16 + 24q + 9q²

6.    Bentuk ( a – b )²

Perhatikan bahwa bentuk ( a – b )² merupakan perkalian ( a – b ) dengan ( a – b ) sehingga,

( a – b )² = ( a – b ) ( a – b )

= a² – ba – ab + b²

= a² – ab – ab + b²

= a² – 2ab + b²

( a – b )² = a² – 2ab + b²

Contoh :

Uraikan bentuk-bentuk berikut.

a.       ( x – 3 )²                b. ( 2y – 5 )²

Jawab :

a.       ( x – 3 )²  = ( x – 3 ) ( x – 3 )

= x² – 3x – 3x + 9

=  x² – 6x + 9

b.      ( 2y – 5 )²  = ( 2y – 5 ) ( 2y – 5 )

= 4y² – 10y – 10y + 25

= 4y² – 20y + 25

C.   Penggunaan Aljabar dalam Kehidupan Sehari-hari

1.         Menghitung Nilai Keseluruhan, Nilai Per Unit, dan Nilai Bagian

Seorang pemilik toko menjual satu kotak pensil dengan harga Rp 12.000,00.Ternyata, dalam satu kotak berisi 12 pensil. Jika ada seseorang membeli satu batang pensil maka harga yang diberikan oleh pemilik toko adalah Rp 1.000,00. Dalam hal ini, harga satu kotak pensil adalah Rp 12.000,00 disebut nilai keseluruhan, sedangkan harga satu batang pensil = Rp 1.000,00 disebut nilai per unit.

Contoh :

Jika harga satu kodi ( 20 lembar ) kain adalah Rp 500.000,00, tentukan harga per lembar kain tersebut!

Jawab :

Misalkan harga satu lembar kain = x maka harga satu kodi kain adalah 20x = Rp 500.000,00 sehingga, x = 500.000 : 20 = 25.000

Jadi, harga per lembar kain adalah Rp 25.000,00

2.    Harga Pembelian, Harga Penjualan, Untung ( Laba ), Rugi dan Modal

Seorang pedagang membeli sebuah sepeda motor dengan harga Rp 8.000.000,00. Dua bulan kemudian, sepeda motor itu dijual. Jika pedagang tersebut berhasil menjual sepeda motor dengan harga Rp 8.500.000,00 maka ia dikatakan mendapat laba Rp 500.000,00. Jika pedagang tersebut hanya mampu menjual dengan harga Rp 8.000.000,00 maka ia dikatakan tidak untung dan tidak rugi ( impas ). Namun, jika pedagang tersebut menjual sepeda motor dengan harga Rp 7.750.000,00 maka ia dikatakan mengalami rugi sebesar Rp 250.000,00.

Dari uraian diatas, dapat disimpulkan sebagai berikut.

a)    Untung jika harga penjualan lebih dari harga pembelian.

Untung = Harga Penjualan – Harga Pembelian

b)   Tidak untung dan tidak rugi ( impas ) jika harga penjualan sama dengan harga pembelian.

Impas = Harga Penjualan = Harga Pembelian

c)   Rugi jika harga penjualan kurang dari harga pembelian.

Rugi = Harga Pembelian – Harga Penjualan

Selanjutnya, apakah  yang disebut modal? Modal adalah uang yang dipakai sebagai pokok untuk berdagang.

3.    Pengertian Persen, Mengubah Bentuk yang Satu ke Bentuk yang Lain di antara Pecahan, Pecahan Desimal dan Persen

Persen adalah pecahan yang ditulis dalam bentuk p% dengan p bilangan real.Persen artinya per seratus. Suatu pecahan biasa atau desimal dapat dinyatakan kedalam bentuk persen dengan cara pecahan tersebut dikalikan 100%. Sebaliknya, bentuk persen juga dapat dinyatakan ke bentuk pecahan biasa atau desimal.

4.    Menentukan Persentase Untung atau Rugi terhadap Harga Pembelian

Dalam perdagangan, besar untung atau rugi terhadap harga pembelian biasanya dinyatakan dalam bentuk persen.

5.    Menghitung Harga Penjualan atau Harga Pembelian Jika Persentase Untung atau Rugi Diketahui

Pada umumnya, seorang pedagang berharap mendapatkan untung dan menghindari rugi. Jika persentase untung atau rugi diketahui maka harga beli dan harga jual dapat dihitung.

Untung = Harga Penjualan – Harga Beli maka,

a.     Harga Penjualan = Harga Pembelian + Untung

b.    Harga Pembelian = Harga Penjualan – Untung

Dengan cara yang sama jika,

Rugi = Harga Pembelian – Harga Penjualan maka,

a.     Harga Penjualan = Harga Pembelian – Rugi

b.    Harga Pembelian = Harga Penjualan + Rugi

6.    Rabat (Diskon), Bruto, Tara, dan Neto

a.         Pengertian Rabat (Diskon)

Istilah rabat dan diskon mempunyai pengertian yang sama yaitu potongan harga pada saat transaksi jual beli. Namun, terdapat perbedaan dalam pemakaian kedua istilah tersebut. Istilah rabat digunakan oleh produsen kepada grosir, agen, atau pengecer sedangkan istilah diskon digunakan oleh grosir, agen, atau pengecer kepada pembeli atau konsumen.

b.        Pengertian Bruto, Neto, dan Tara

Pada suatu kaleng makanan tertulis neto 1 kg. Tetapi pada saat ditimbang beratnya 1,2 kg. Tulisan 1 kg tersebut menunjukkan neto ( berat bersih ) makanan dalam kaleng . Hasil penimbangan 1,2 kg disebut bruto ( berat kotor ). Sedangkan bruto – neto = 0,2 kg disebut tara.

Dari uraian diatas dapat disimpulkan sebagai berikut.

                        Bruto = neto + tara

Neto = bruto – tara

Tara = bruto – neto

            Jika, diketahui persen tara dan bruto maka untuk mencari tara digunakan rumus berikut.

Tara=Persen Tara x Bruto

7.    Pajak

Jika melihat barang-barang di sebuah toko, sering  kita temui tulisan harga belum termasuk PPN( Pajak Pertambahan Nilai ). Artinya, Jika harga suatu barang Rp 100.000,00 maka uang yang harus dibayarkan oleh pembeli adalah Rp 100.000,00 ditambah PPN x Rp 100.000,00. Dari contoh tersebut kita dapat memahami istilah pajak.

Pajak adalah sejumlah uang yang dibayarkan seseorang ( rakyat ) kepada negara atau pemerintah untuk digunakan bagi kepentingan rakyat. Ada berbagai jenis pajak, misalnya pajak penghasilan, pajak pertambahan nilai, dan pajak bumi dan bangunan.

8.    Bunga Tunggal dalam Kegiatan Ekonomi

Jika menyimpan uang di bank atau koperasi maka tiap bulan kita akan mendapatkan tambahan uang yang disebut bunga. Bunga tabungan dihitung secara periodik, misalnya sebulan sekali atau setahun sekali. Ada dua jenis bunga tabungan, yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Bunga tunggal adalah bunga yang dihitung hanya berdasarkan besarnya modal saja, sedangkan bunga majemuk adalah bunga yang dihitung berdasarkan besarnya modal dan bunga.